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Valor absoluto
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El concepto de valor absoluto o módulo se puede utilizar para hallar la distancia entre dos puntos. En física es muy usual hablar del módulo o norma para referirse a la longitud de un vector.

Si a y b son dos puntos en la recta real entonces la distancia de a a b está dada por d(a, b) = |b - a|

Si por ejemplo b = 0 y a = 5, la expresión |-5| puede leerse como |-5| es la distancia del punto 5 al origen. Observando la recta numérica se llega a la conclusión que |-5| = 5. De la misma manera, si b = 0 y a = -5 se concluye que |5| = 5 y por lo tanto |-5| = |5|.

Otro ejemplo. Si a = 5 y d(a, b) = 10, la ecuación |b - 5| = 10 puede leerse como b son los puntos cuya distancia al punto 5 es 10. Mirando en la recta numérica se puede ver que los puntos que cumplen con dicha condición son -5 y 15.

Utilizando el mismo razonamiento anterior, la inecuación |x - 5| < 10 puede leerse como x son los puntos cuya distancia al punto 5 es menor que 10. Mirando en la recta se puede ver que los puntos que cumplen con dicha condición pertenecen al intervalo (-5;15). A este intervalo abierto se lo denomina entorno de centro 5 y radio 10.

Resulta claro que |x| < 0 tiene como conjunto solución al conjunto vacío porque no hay puntos en la recta numérica cuya distancia al origen sea menor que cero. Decir |x| \ge 0 es lo mismo que decir que x \in \real .

Dados dos puntos en \real^2 expresados mediante coordenadas cartesianas A(x1, y1) y B(x2, y2) y haciendo uso del Teorema de Pitágoras se tiene que:

  • d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

    • En particular si B tiene como coordenadas (x,0) y A(0,0) se tiene que d(A,B) = |x| = \sqrt{x^2}

    La función valor absoluto se define de la siguiente manera para los nümeros reales:

  • f(x)=|x|=\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{si }x\ge 0 \\ -x, & \mbox{si }x<0 \end{matrix}\right.

    • imagen:Modulo.png

    Así, la función módulo o valor absoluto siempre toma valores no-negativos. Es una función par dado que f(-x) = f(x) y también es una función continua en \real, pero no derivable en x=0 puesto que tiene un pico o punto cuspidal en dicho punto. La derivada de la función módulo es la función signo.

  • f'(x) = \frac {|x|} {x} = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }x > 0 \\ -1, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right.

    • La inexistencia de f'(0) se refleja geométricamente en el hecho que no existe recta tangente en (0,0).

    Propiedades del valor absoluto

    1. |x| ≥ 0
    2. |x| = 0 si y sólo si x = 0.
    3. \left| x \right| = \sqrt{x^2}
    4. |-x| = |x| y |x - a| = |a - x|
    5. |x . y| = |x| . |y|
    6. |x / y| = |x| / |y| (y ≠ 0)
    7. Desigualdad triangular |x + a| ≤ |x| + |a| y |x - a| ≥ |x| - |a|
    8. -|x| ≤ x ≤ |x|
    9. |x| ≤ a si y sólo si -a ≤ x ≤ a

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